Πυθαγόρας: μαθηματικά, αρμονία και η αναζήτηση της τάξης

1. Το όνομα στον μαυροπίνακα

Πολλοί άνθρωποι συναντούν τον Πυθαγόρα για πρώτη φορά μέσω a² + b² = c². Αυτή είναι μια χρήσιμη είσοδος, αλλά ένα ημιτελές πορτραίτο. Πίσω από τη σχολική φόρμουλα βρίσκεται ένας Έλληνας στοχαστής με μεταγενέστερη παράδοση αριθμών, μουσικής, κανόνων ζωής και ιστοριών για την ψυχή.

Πυθαγόρας έζησε περίπου από 570 προς 490 Το π.Χ., καταγόταν από τη Σάμο και συνδεόταν κυρίως με τον Κρότωνα στη νότια Ιταλία. Δεν υπάρχει γενικά αναγνωρισμένο δικό του γραπτό έργο. Η Εγκυκλοπαίδεια της Φιλοσοφίας του Στάνφορντ τονίζει συνεπώς τη διάκριση μεταξύ του ιστορικού προσώπου, των οπαδών του και την πολύ μεταγενέστερη αναπαράσταση ενός σχεδόν παντογνώστη κυρίου. ^[1]

Αυτό το αρχείο συγκεντρώνει μαθηματικά και φιλοσοφία, αλλά διαχωρίζει τις αποδείξεις τους. Μπορείς να ελέγξεις ένα γεωμετρικό θεώρημα με αποδείξεις. Μια ιστορία για το τι ανακάλυψε ο Πυθαγόρας προσωπικά απαιτεί ιστορικές πηγές.

2. Γιατί οι πηγές είναι δύσκολες;

Πολλές λεπτομερείς ιστορίες για τον Πυθαγόρα γράφτηκαν αιώνες αργότερα. Αυτή η διαφορά χρόνου δεν τους κάνει άχρηστους, αλλά αλλάζει την ερώτηση που μπορείτε να απαντήσετε με αυτήν. Επίσης, λένε πώς οι μεταγενέστερες ομάδες φαντάζονταν έναν ιδανικό φιλόσοφο. ^[1]

Η βιογραφία του Ιάμβλιχου είναι ένα αναγνωρίσιμο παράδειγμα αυτού: μια ύστερη-αντιγραφική ιστορία ζωής με εκπαίδευση, πειθαρχία και αξιοθαύμαστες ιδιότητες του αφέντη. Μην διαβάσετε ένα τέτοιο κείμενο ως ένα σύγχρονο ημερολόγιο καταγραφή του έκτου αιώνα π.Χ.. ^[6]

Γι ’ αυτό, ένας προσεκτικός αναγνώστης παρατηρεί τρία πράγματα: ποιος γράφει, πόσο αργότερα και για ποιο σκοπό; Η ίδια μέθοδος βοηθά με θαυματουργές ιστορίες, διάσημα εισαγωγικά και ισχυρίζεται ότι ένα άτομο εφηύρε σχεδόν όλες τις ελληνικές επιστήμες.

3. Τι στο καλό λέει το θεώρημα

Σε α ορθογώνιο τρίγωνο η επιφάνεια του τετραγώνου στη λοξή πλευρά ισούται με το άθροισμα των επιφανειών των τετραγώνων στις δύο ορθογώνιες πλευρές. Αυτό είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος που ο Ευκλείδης στο Στοιχεία, βιβλίο I, πρόταση 47, αποδεικνύει. ^[2]

Η ορθογώνια κατάσταση είναι απαραίτητη. Ονόμασε τις πλευρές που σχηματίζουν τη σωστή γωνία α και β· ονόμασε την αντίθετη πλευρά γ. Στη συνέχεια a2 + b2 = c2. Έτσι, η φόρμουλα προσθέτει σε περιοχές. Δεν λέει ότι το Α+Β ισούται με το Γ.

Ένα τετράγωνο με μετάξι 3 έχει έκταση 9. Ένα τετράγωνο με μετάξι 4 έχει έκταση 16. Μαζί, αυτές οι περιοχές είναι 25, η επιφάνεια ενός τετραγώνου με μετάξι 5. Αυτό μας κάνει... 3, 4 και 5 ένα εύκολα επαληθεύσιμο παράδειγμα.

4. Υπολογισμός χωρίς αλλαγή πλευρών

Για παραλληλόγραμμες πλευρές 6 και 8 βρείτε c2 = 36 + 64 = 100. Έτσι το θετικό μήκος της λοξής πλευράς είναι 10. Παίρνεις μετά την προσθήκη της τετραγωνικής ρίζας; 100 είναι αριθμός περιοχής, όχι το απαιτούμενο μήκος.

Όπως η επικλινής πλευρά 13 είναι και μία ορθογώνια πλευρά 5, ακολουθεί για την άλλη πλευρά b2 = 169 − 25 = 144, οπότε β = 12. Αφαιρείς εδώ επειδή ο μεγαλύτερος τετραγωνικός όρος είναι ήδη γνωστός.

Χρησιμοποιήστε την ίδια μονάδα μήκους παντού. Τα τετραγωνικά εκατοστά και τα μέτρα μαζί δεν παρέχουν μια ουσιαστική απάντηση.

5. Μια επιφανειακή απόδειξη που μπορείτε να ακολουθήσετε.

Πάρτε τέσσερα πανομοιότυπα ορθογώνια τρίγωνα με ορθογώνιες πλευρές α και β και λοξή πλευρά γ. Τοποθετήστε τα κατά μήκος των άκρων ενός μεγάλου τετραγώνου με πλευρά a + b, αφήνοντας ένα στριφογυρισμένο τετράγωνο με πλευρά c στη μέση. Οι αιχμηρές γωνίες των τριγώνων αλληλοσυμπληρώνονται με μια ορθή γωνία· επομένως, η μέση μορφή είναι ένα τετράγωνο.

Η έκταση της μεγάλης πλατείας είναι (α + β) 2. Τα τέσσερα τρίγωνα έχουν επιφάνεια 4 × ab/ 2 = 2 Αμπ. Το μεσαίο τετράγωνο έχει επιφάνεια c2. Έτσι (α + β) 2 = 2 ab + c2.

Εργασία στην αριστερή πλευρά: a2 + 2 ab + b2 = 2 ab + c2. Τραβήξτε και στις δύο πλευρές 2 ab off και εκεί μένει a² + b² = c² Όβερ. Αυτό είναι ένα δικό του διδακτικό αποτέλεσμα μιας επιφανειακής απόδειξης, όχι ένας ισχυρισμός ότι αυτό ήταν η προσωπική απόδειξη του Πυθαγόρα. Διαφέρει από την κατασκευή που ο Ευκλείδης στην Ι. 47 χρησιμοποιείται.

6. Το αντίστροφο ερώτημα

Ας υποθέσουμε ότι έχετε τρεις θετικές πλευρές για τις οποίες a2 + b2 = c2. Είναι η γωνία απέναντι από το C ευθεία; Ο Ευκλείδης αντιμετωπίζει αυτή την αντιστροφή ξεχωριστά στο βιβλίο I, πρόταση 48. Ένα θεώρημα και η αντιστροφή του είναι λογικές δηλώσεις ότι ο καθένας απαιτεί τη δική του αιτιολόγηση. ^[3]

Από τα πλάγια 5, 12 και 13 η εξίσωση είναι σωστή: 25 + 144 = 169. Σας επιτρέπει να αναγνωρίσετε τη σωστή γωνία. Με 5, 6 και 7 δεν ταιριάζει με την εξίσωση για τη μεγαλύτερη πλευρά: 25 + 36 δεν είναι 49.

Αυτός ο έλεγχος δείχνει μια σημαντική αρχή σκέψης. Μια φόρμουλα δεν είναι απλά ένα κόλπο για να βρεις έναν άγνωστο αριθμό. Συνδέει μια γεωμετρική ιδιότητα με μια αριθμητική σχέση, και η αντιστροφή κάνει αυτή τη σχέση επίσης χρήσιμη ως δοκιμή.

7. Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος;

Το όνομα ενός θεωρήματος δεν αποτελεί απόδειξη ιδιοκτησίας. Η ιστορική αξιολόγηση του μαθηματικού έργου του ίδιου του Πυθαγόρα είναι αμφιλεγόμενη· η συμβουλευόμενη σύνθεση συζητάει το πόσο δύσκολο είναι να του αποδοθεί μια συγκεκριμένη απόδειξη. Τα σωζόμενα Ευκλείδια στοιχεία είναι μια πιο συγκεκριμένη πηγή από μια καθυστερημένη ιστορία για μια στιγμή ανακάλυψης. ^[1][2]

Αυτό δεν μειώνει το θεώρημα. Η μαθηματική εγκυρότητα εξαρτάται από το σκεπτικό, όχι από τη φήμη ενός ονόματος. Η ιστορική απόδοση απαιτεί ένα διαφορετικό είδος ελέγχου.

Είναι επομένως καλό να χρησιμοποιούνται δύο προτάσεις δίπλα-δίπλα: αυτό είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα, και δεν γνωρίζουμε με την ίδια βεβαιότητα τι έχει αποδείξει προσωπικά ο ιστορικός Πυθαγόρας. Ο πρώτος κατονομάζει ένα κοινό όνομα· ο δεύτερος το όριο της γνώσης μας.

8. Αριθμοί που κάνουν ένα σχήμα

Με τελείες μπορείτε να εμφανίσετε αριθμούς ως μοτίβα. Κάντε τέσσερις σειρές από τέσσερις τελείες 16 · τρεις διαδοχικές σειρές του ενός, δύο και τρεις τελείες συγχωνεύονται 6. Τέτοιες αναπαραστάσεις καθιστούν ορατό ότι η καταμέτρηση και η μορφή μπορούν να διερευνηθούν από κοινού.

Ο Αριστοτέλης συζητάει στο Μεταφυσική A. 5 Οι λεγόμενοι Πυθαγόρειοι, που συνέδεαν τις αρχές των αριθμών με τις αρχές της πραγματικότητας. Αναφέρει επίσης το ενδιαφέρον για τις μουσικές σχέσεις. Αυτή είναι μια μαρτυρία για μια παράδοση σκέψης, όχι ένα χειρόγραφο μάθημα από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. ^[4]

Το άλμα από το πρότυπο στην παγκόσμια δήλωση αξίζει προσοχής. Το γεγονός ότι μπορείτε να περιγράψετε μια μορφή αριθμών δεν αποδεικνύει ότι κάθε ανθρώπινο χαρακτηριστικό είναι κυριολεκτικά ένας αριθμός. Εδώ αρχίζει η φιλοσοφική συζήτηση για το εύρος ενός μοντέλου.

9. Γιατί κάθε μήκος δεν είναι ένα κάταγμα;

Η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1 έχει μήκος 2. Μπορείς να κατασκευάσεις αυτό το μήκος, αλλά δεν μπορείς να την γράψεις σαν κλάσμα δύο ολόκληρων αριθμών. Εδώ είναι μια διδακτική επίδραση της τυπικής απόδειξης της αντίφασης? δεν παρουσιάζεται ως προσωπική ανακάλυψη του Πυθαγόρα.

Ας υποθέσουμε 2 = p/q, όπου p και q είναι θετικοί ακέραιοι και το κλάσμα είναι στις χαμηλότερες τιμές του. Στη συνέχεια p2 = 2 q². Έτσι p2 είναι άρτιος, και p το ίδιο πρέπει να είναι άρτιος: το τετράγωνο ενός περίεργου ακέραιου είναι παράξενο.

Εγγραφή p = 2 r. Τότε το 4 r² = 2 q2, οπότε q2 = 2 r². Γι' αυτό ο Κιου είναι πάτσι. Αλλά αν τα p και q είναι και τα δύο, θα μπορούσαμε να χωρίσουμε το κάταγμα κατά δύο. Αυτό είναι αντίθετο με την υπόθεση ότι απλοποιήθηκε πλήρως. Επομένως, η υπόθεση μιας τέτοιας παραβίασης δεν μπορεί να είναι αληθινή.

Το βήμα είναι φιλοσοφικά ενδιαφέρον: μια απλή γεωμετρική φιγούρα οδηγεί σε έναν αριθμό που πέφτει έξω από την κανονική μορφή κατάγματος. Οι αποδείξεις αφορούν εκείνο το μαθηματικό χαρακτηριστικό · ιστορίες για το ποιος θα συγκλονιζόταν από αυτή την ανακάλυψη απαιτούν χωριστές ιστορικές πηγές.

10. Κάνε το τριπλάσιο μόνος σου.

Δεν έχει κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ολόκληρες πλευρές, αλλά υπάρχει ένας απλός τρόπος να γίνουν πολλά ολόκληρα παραδείγματα. Επιλέξτε ακέραια m και n με m μεγαλύτερο από n και n μεγαλύτερο από το μηδέν. Πάρτε a = m2 n2, b = 2 mn και c = m2 + n2.

Έλεγχος: (m2 - n2) 2 + ( 2 ΜΝ) 2 = m⁴ − 2 m 2 n 2 + n⁴ + 4 m 2 n 2 = (m² + n²) 2. Τα τρία μήκη που επιλέχθηκαν έτσι συμμορφώνονται με την εξίσωση. Με m = 2 και n = 1 Θα το πάρεις. 3, 4 και 5. Με m = 3 και n = 2 Θα το πάρεις. 5, 12 και 13.

Αυτός είναι ένας ξεχωριστός υπολογισμός για την εμφάνιση της δομής. Δεν λέει ότι κάθε επιλεγμένο ζευγάρι παράγει ένα νέο, αδιαίρετο τρίο. Για παράδειγμα, m = 3 και n = 1 το τρίο 8, 6 και 10, ένα πολλαπλάσιο 4, 3 και 5.

11. Μουσική και μετρήσιμες διαστάσεις

Με μια ιδανική ενταμένη χορδή, η συχνότητα του εδάφους σχετίζεται με το μήκος, την τάση και τη μάζα ανά μονάδα μήκους. Εάν οι άλλες συνθήκες παραμείνουν ίδιες, το μισό μήκος δίνει διπλή συχνότητα εδάφους. Το OpenStax περιγράφει αυτή τη σχέση με όρθια κύματα στις χορδές. ^[5]

Με αυτό μπορείτε πρακτικά να καταλάβετε την ιδέα πίσω από απλές μουσικές σχέσεις. Λόγος συχνότητας 2: 1 ανήκει σε μια οκτάβα. Σχέσεις της 3: 2 και 4: 3 τα αναγνωρίσιμα σημεία εκκίνησης του για ένα καθαρό κουίντ και τέταρτο. Αυτές είναι εξιδανικευμένες σχέσεις, όχι ο ισχυρισμός ότι κάθε πραγματικό όργανο ακούγεται τέλεια σύμφωνα με μια απλή φόρμουλα.

Σε ένα πείραμα, μετρήστε ένα πράγμα τη φορά. Απλά αλλάξτε το αποτελεσματικό μήκος συμβολοσειρών και να κρατήσει την ένταση όσο το δυνατόν ίσα. Τότε η σύνδεση μεταξύ ακοής και μαθηματικών αποκτά νόημα χωρίς να χρειάζεται ένα αναπόδεικτο ανέκδοτο για μια ιστορική ανακάλυψη.

12. Η αρμονία και η τάξη του σύμπαντος

Το πυθαγόρειο βήμα προς έναν διατεταγμένο κόσμο γίνεται ορατό στον Αριστοτέλη σε σχέση με τους αριθμούς, τις μουσικές σχέσεις και τον ουρανό. Έτσι, μια ακουστική σχέση έγινε ένα μοντέλο σκέψης για τη συνοχή στο σύνολό της. ^[4]

Ένα μοντέλο μπορεί να διευκρινίσει και να αποπλανήσει. Η επιτυχία των μαθηματικών σε μια χορδή δεν σημαίνει ότι ένας ηθικός κανόνας ή ουράνια κίνηση έχει αποδειχθεί με τον ίδιο τρόπο. Ως εκ τούτου, πάντα να ρωτήσω πού η αναλογία βοηθά και όπου απαιτείται επιπλέον παρατήρηση ή επιχειρηματολογία.

Στους σύγχρονους αναγνώστες αρέσει επίσης να αναζητούν μια αρχή πίσω από διαφορετικά φαινόμενα. Αυτό εξακολουθεί να κάνει την παλιά ερώτηση ενδιαφέρουσα: πότε ανακαλύπτετε πραγματικά μια σύνδεση και πότε κάνετε ένα ελκυστικό μοτίβο;

13. Η ψυχή και ο τρόπος ζωής

Οι πυθαγόρειες παραδόσεις συνδέονται επίσης με την ψυχή, τον καθαρισμό και τους κανόνες της ζωής. Η ύστερη βιογραφία του Ιάμβλιχου προσφέρει λεπτομερή παραδείγματα ενός πειθαρχημένου τρόπου ζωής. Δείχνει πώς μια φιλοσοφική κοινότητα μπορεί να οικοδομηθεί γύρω από ένα μάστερ και καθημερινές ασκήσεις σε μια μεταγενέστερη παράσταση. ^[6]

Για το θέμα του Πλάτωνα Φαίδο μια χρήσιμη πηγή σύγκρισης. Εκεί η φιλοσοφία, το σώμα και η ψυχή συζητούνται στο δικό τους επιχειρηματικό και δραματικό πλαίσιο. Ο διάλογος δεν είναι απόδειξη ότι κάθε ιδέα σε αυτό προήλθε απευθείας από τον Πυθαγόρα. ^[7]

Η διάκριση κάνει την ιστορία πλουσιότερη. Μια συμφωνία μπορεί να οδηγήσει σε έρευνα για επιρροή, αλλά δεν αντικαθιστά την εν λόγω έρευνα. Οι κόρες, οι ακόλουθοι και οι μετέπειτα θαυμαστές είναι διαφορετικές σχέσεις.

14. Ασφάλεια, εξουσία και αποδεικτικά στοιχεία

Σε μια παράδοση, ένας διάσημος δάσκαλος μπορεί να γίνει το σημείο εκκίνησης της μεγάλης γνώσης. Ένας κίνδυνος προκύπτει για τον αναγνώστη: το ίδιο το όνομα θα λειτουργήσει ως επιχείρημα. Εκεί ακριβώς τα μαθηματικά στοιχεία παρέχουν μια χρήσιμη αντί-ερώτηση. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε το συλλογισμό χωρίς να βασίζεστε στην εξουσία του ομιλητή;

Αυτή η στάση δεν χρειάζεται να αποκλείει τον ιστορικό θαυμασμό. Μπορείτε να εκτιμήσετε μια παράδοση και ωστόσο να διακρίνετε τι είναι αποδεδειγμένα, πιθανόν, αργοπορημένο ή θρυλικό. Είναι ακριβώς ο συνδυασμός περιέργειας και ελέγχου που εμποδίζει το θέμα να γίνει μια συλλογή από θαυμάσιες ιστορίες.

Ως αποτέλεσμα, ο Πυθαγόρας παραμένει κάτι περισσότερο από μια φόρμουλα. Είναι μια πρόσβαση στην ιστορία της αναζήτησης τάξης: σε ένα τρίγωνο, σε μια μελωδία, στο σύμπαν και στη δική του ζωή. Αυτές οι διαφορετικές αναζητήσεις αξίζουν το δικό τους μέτρο.

15. Δοκίμασέ το μόνος σου.

Υπολογίστε την πλάγια πλευρά σε ορθογώνιες πλευρές 9 και 12. Τότε έλεγξε αυτό. 8, 15 και 17 σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Γράψτε σε κάθε βήμα αν υπολογίζετε ένα μήκος ή μια περιοχή.

Οι απαντήσεις είναι: 15 και ναι: 81 + 144 = 225 και 64 + 225 = 289. Τότε κάνε ένα παράδειγμα που δεν βγάζει νόημα και εξήγησε το γιατί. Έτσι δεν εξασκείστε μόνο στην εκτέλεση μιας φόρμουλας, αλλά αναγνωρίζετε και τις συνθήκες της.

Μια δεύτερη άσκηση είναι ιστορική: διαβάστε ένα απόσπασμα από τον Αριστοτέλη και ένα απόσπασμα από μεταγενέστερη βιογραφία. Ποιο κείμενο περιγράφει ένα σχολείο και ποιο ένα άτομο; Ποιες πληροφορίες θα χρειαζόσασταν για να συγκρίνετε τις δηλώσεις τους σχετικά με την πρώιμη περίοδο;

16. Συχνές ερωτήσεις